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ふくろう博士TOP > ふくろう博士のｅ講座 > 2004年度のe-講座 > 第31回算数『何個切られる？何回割れる？知らないと損する中学受験算数解法ポイント』

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もうすぐ中学入試が始まるね。ここでは小学生が考えにくい問題を取り上げよう。考えにくいけど解き方がわかればすぐに解ける問題だよ。この解法ポイントは覚えておこう。

【１】正方形が何個切られるか？の問題

例題
正方形を縦に４枚、横に６枚並べて作った長方形を図のように１つの対角線で切ると、元の正方形のうち８枚が切断される。これにならって、正方形を縦に１０４枚、横に１１７枚並べて作った長方形を、その１つの対角線で切ると、もとの正方形のうち何枚が２つに切断されますか。

この問題は以前灘中に出題された問題だけど、ヒントが与えられているのでそれを使って解き方を考えてみよう。解き方がわかれば簡単に解けます。

ポイントは右の図１の○のところ。ここは縦横の線の交点を対角線が通過しています。この点の右上の長方形と左下の長方形では対角線が同じように交わっているね。だから図２のような単位となる長方形で対角線が切る正方形を数えればよい。

この中で対角線が切る正方形の個数の数え方は工夫して求めよう。
図を見てわかるように対角線は中にある縦の線、横の線に交わるごとに次の正方形を切っている。これに気がついたかな。中にある線の本数は縦２本、横１本だから３本通過している。だから３個の正方形を切っているよね。これにはじめに切る正方形を加えて全部で４個の正方形を切ることがわかる。

では、問題の縦１０４枚、横１１７枚の正方形では、単位となる長方形はどうやって見つけようか。最大公約数をつかえそうだなと気がつけばしめたもの。
縦に１０４枚、横に１１７枚。

１０４＝２×２×２×１３。　１１７＝３×３×１３。

最大公約数は１３だね。
ところで最大公約数の１３には二つの意味があるね。
一つは縦横それぞれ１３個ずつの正方形から成る大きな正方形が縦に８個、横に９個ずつできるという意味。

もうひとつは縦に１３個、横に１３個のはじめの長方形を縮小した長方形ができるという意味。つまり、はじめの長方形の相似形、縦横の比が８：９の長方形が縦に１３個、横に１３個できるという意味だ。

だから、単位となる長方形は縦に８個、横に９個の正方形から成る。
次の図３のように、はじめの長方形の対角線は単位となる相似な長方形の対角線と重なる。

対角線が何個の正方形を切るかは、この単位となる長方形で考える。
中に引いてある線を植木算で数えればよい。図４

（８－１）＋（９－１）＝１５本

最初の正方形を加えて１６の正方形が切られている。
単位となる長方形が全部で１３個あるから、

１６×１３＝２０８個　の正方形が切られる。

つぎにこれを応用する問題。
図５のような、直角をはさむ辺の長さが１３cm と１７cmの直角三角形がある。直角の角のところから、図のように１辺１cmの正方形を直角三角形の内部にどんどん作っていくとき、１辺１cmの正方形はいくつできますか。

これは直角三角形のままで考えてもうまくいかないよ。縦１７ｃｍ横１３ｃｍの長方形を使って考える、と気がついてほしい。長方形の中にできる正方形の数から対角線できられる正方形を引いて、あとは２で割ればいいね。

図６のように長方形の中には正方形が１３×１７＝２２１個できる。
対角線で切られる正方形の個数は

１２＋１６＋１＝２９
２２１－２９＝１９２　１９２÷２＝９６個

答え　９６個　の正方形ができる。

【2】何回割れる？の問題

例題
１から４０までの整数の積　１×２×３×４×・・・・×４０を作ります。
?この積を３で割る事をくり返していくと、何回目で、初めて割り切れなくなりますか。
?この積の下から何けた目まで０が並びますか。

この問題は全部かけて３で割るなどとしてはいけないよ。３で割り切れるのは３の倍数だけだから、３の倍数に注目すればいい。３の倍数は３で割れるけど、９の倍数は３で２回割れるね。さらに２７は３で３回割れるよ。これをどうやって数えようか。
下の図７に３の倍数には○を、９の倍数には△をつけてみた。この図で説明するよ。
まず、４０までの中に３の倍数が何個あるか数えると、

４０÷３＝１３・・・・・１　１３個ある。

これで○の数を数えたね、つぎに９の倍数を数えると、

４０÷９＝４ ・・・・・４　４個ある。

これで△の個数がでたね。さらに２７の倍数は１個ある。これで９の倍数の２個と２７の倍数の３個も全部数えたことになる。だから素数の３はこの積の中に、

１３＋４＋１＝１８個　あることになる。だから、３で１８回割れるから答えは１９回目だ。

?のような問題はどう考えようか。
０ができるのは１０の倍数ができたときだけど、１０で割れる数と考えてはいけないよ。なぜなら、１０は２と５という素数の積でできるから１０をかけてなくても２と５があれば０の位ができる。だから、２の倍数と５の倍数の個数に注目すればいい。でも、連続する数では５の倍数の方が２の倍数より少ないから、５の倍数で素数の５の個数を考えればいい。

４０÷５＝８
４０÷２５＝１・・・１５
８＋１＝９

素数の５はこの積の中に９個あることがわかるから、０は９個並ぶことになる。
答えは９けた目