まず、「中点連結定理」について確認しておきましょう。
＜中点連結定理＞
三角形ＡＢＣにおいて、底辺ＢＣ以外の 2 辺ＡＢ，ＡＣの中点をそれぞれＭ，Ｎとおく。このとき、ＭＮと底辺ＢＣの間に ２ＭＮ＝ＢＣ かつ ＭＮ//ＢＣ が成り立つ。
「中点連結定理の逆」というのもあります。
＜中点連結定理の逆＞
三角形ＡＢＣにおいて、辺ＡＢの中点Ｍから引いた底辺ＢＣの平行線と、残りの辺ＡＣとの交点Ｎは、辺ＡＣを二等分する。
では、問題を解いていきましょう。
はじめは、相似な三角形をさがしてみましょう。手がかりは「平行線」。
「平行線」あるところに「相似」ありです。
この図のなかで平行線といえば、ＡＲとＰＳです。ＡＲとＰＳを、またはそれらの一部を辺として持つ三角形を調べます。すると、△ＣＡＲと△ＣＰＳが相似であることがわかります。
△ＣＡＲにおいて、辺ＣＡの中点Ｐから引いた底辺ＡＲの平行線がＰＳですから、中点連結定理の逆より、点Ｓは辺ＣＲを二等分します。つまり、
ＲＳ＝ＳＣ ・・・・・・①
次に、△ＢＰＳを見ると、ＱＲとＰＳが平行で、点Ｑは辺ＢＰの中点ですから、ここにも中点連結定理の逆が使えます。よって、点ＲはＢＳを二等分する点なので、
ＢＲ＝ＲＳ ・・・・・・②
①、②より
ＢＲ＝ＳＣ
であることが証明されました。
図形の問題で、何から考えていいのかわからないときは、相似な三角形をさがしてみましょう。そのときは、平行線に注目ですよ。 |
